Die Platonischen Körper

Die meisten Leute denken, Platon hätte die Platonischen Körper entdeckt, schließlich tragen sie ja seinen Namen. Aber das stimmt nicht. In seinem Buch “Timaios“ beschäftigt er sich ausführlich mit diesen wundersamsten aller Körper, setzt sie mit unserer materiellen Welt ins Verhältnis und bezieht sie in seine Philosophie mit ein. Aber dazu kommen wir gleich, denn ich möchte chronologisch vorgehen.
Es gibt nämlich archäologische Funde, die weit älter sind. Die ältesten stammen aus der Zeit der Megalith-Kulturen, das war so ungefähr 4500 - 2000 v. Chr. Auch in Schottland wurden an verschiedenen Stellen einige hundert Steinkugeln, die mit Gravuren versehen waren, gefunden. Zu welchem Zweck sie dienten kann man nur mutmaßen, es ist nichts darüber bekannt. Es befinden sich unter diesen über 4000 Jahre alten Funden auch verschiedene halbreguläre Körper.

Auch die Ägypter beschäftigten sich mit den Formen der platonischen Körper. Ihre großen Pyramiden sind im Grunde "halbe Oktaeder". Im 6. Jhd. v. Chr. fand man in Padua ein etruskisches Dodekaeder aus Speckstein. Man nimmt an, dass er ebenso wie der Würfel und das Tetraeder Pythagoras und seinen Schülern bekannt war.
Theaitetos (ca. 415 - 369 v. Chr.) konnte als erster alle fünf Körper nur unter Verwendung von Zirkel und Lineal konstruieren. Auf ihn geht der Begriff des regelmäßigen Körpers zurück.
Wie viele andere berühmte Menschen der Vergangenheit war auch Johannes Kepler ein ausgezeichneter Geometer und gab sich bei seinem leider vergeblichen Versuch, mit Hilfe der Platonischen Körper die Planetenbahnen zu beschreiben, voll und ganz diesen wundersamen Figuren hin.
Aber was hat denn nun eigentlich Platon mit den immerhin nach ihm benannten Körpern zu tun? Nun, die Tatsache, dass es nur fünf dieser vollkommenen Körper gibt, bot den Philosophen immer wieder Stoff für ihre Spekulationen. Bevor sich Platon ausgiebig mit ihnen befasste, waren sie übereinstimmenden Berichten zufolge als pythagoreische Körper bekannt. Das macht aber nichts, das hinderte den guten alten Platon nicht, die großen fünf geradezu zu verherrlichen und in seine eigene Philosophie einzubauen, indem er sie den vier Elementen und einem fünften Element, der geheimnisvollen Quinta Essentia, zuordnete.

Die Namen der Platonischen Körper kommen aus dem Griechischen und bezeichnen jeweils die Anzahl ihrer Flächen [griech. hédra = Fläche]. Sie definieren sich über die folgenden Regeln:
1. Alle Seiten einer Fläche sind gleich lang.
2. Alle Flächen haben denselben Flächeninhalt.
3. Alle Winkel in einer Ecke sind gleich groß.

Der Tetraeder ist der Körper mit den spitzesten Ecken. Er besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken. Diese werden zu vier Ecken und sechs Kanten zusammengeführt. Durch seine stachelige Form ist er ein Symbol für die Strahlkraft der Wärme und des Feuers. Dadurch wird klar, warum er dem Element Feuer zugeordnet wurde.

Hexaeder [griech. Hexáedron -> éxi = sechs]

(Math.): von sechs [gleichseitigen] Vierecken (Quadrat) begrenztes Polyeder oder auch Würfel genannt.

Der Würfel ist wahrscheinlich der bekannteste aller Platonischen Körper. Neben der Kugel ist er der einzige Körper, in den sich die anderen Platonischen Körper symmetrisch einbeschreiben lassen. Er besitzt sechs Flächen, 12 Kanten und acht Ecken. Er verhält sich polar zum Oktaeder (siehe Dualität). Seine Form zeichnet eine sehr hohe Stabilität aus, daher ist er der ideale Boden oder Sockel. In der Kristallwelt findet man z.B. das Steinsalz in der Würfelform an. Unsere Häuser sind fast ausschließlich alle auf der rechteckigen Grundform erbaut. Der Würfel ist sozusagen die Urform der Materie. Deshalb hat Platon ihn dem Element Erde zugeordnet.

Oktaeder [griech. Oktáedron -> októ = acht]

(Math.): von acht [gleichseitigen] Dreiecken begrenztes Polyeder.

Das Oktaeder besteht aus sechs Ecken, acht Flächen und 12 Kanten. Seine Flächen sind gleichseitige Dreiecke. Er verhält sich polar zum Würfel (siehe Dualität). Seine Winkel wirken weniger spitz als die des Tetraeders, allerdings ist es im Vergleich zum Würfel bei weitem nicht so gut geeignet, fest auf dem Boden zu stehen. Betrachtet man es aufrecht auf seiner Spitze stehend, so scheint es förmlich zu schweben. Platon hat es deshalb dem Element Luft zugeordnet. Seine sechs Ecken entsprechen den vier Himmelsrichtungen sowie den beiden zusätzlichen Richtungen für oben und unten.

Von allen Körpern wurde dieser von alters her als der Vollkommenste betrachtet. Das Dodekaeder besteht aus 20 Ecken, 12 Flächen gleichseitiger Fünfecke und 30 Kanten. In der Schule des Pythagoras war es verboten über diesen heiligen Körper zu sprechen, dessen fünfeckige Grundflächen vom goldenen Schnitt nur so durchdrungen sind. Es verhält sich polar zum Ikosaeder (siehe Dualität). Vielleicht auch wegen seiner großen Ästhetik ordnete Platon diesen Körper dem Element Äther zu.

Das Ikosaeder besteht aus 12 Ecken, 20 Flächen gleichseitiger Dreiecke und 30 Kanten. Er verhält sich polar zum Dodekaeder (siehe Dualität). Von allen Platonischen Körpern nähert er sich der Kugelform am weitesten an. Flüssigkeiten, auf die keine äußeren Kräfte wirken, streben immer die Kugelform an. Blickt man senkrecht auf eine seiner Flächen, erkennt man seinen sechseckigen Umriss. Dort zeigt sich seine offensichtliche Ähnlichkeit des Wassers zu sechseckigen Schneeflocken. Ohne Frage wurde er von Platon dem Element Wasser zugeordnet.

Regelmäßige Polygone

Wie wir gesehen haben, setzen sich alle Platonischen Körper aus Regelmäßigen Polygonen zusammen. Regelmäßige Polygone sind Polygone, deren Seiten gleich lang und deren Innenwinkel a gleich groß sind.

Jedes regelmäßiges Polygon a) – d) hat seinen Inkreis und seinen Umkreis. Während der Inkreis alle Seiten in ihrem Mittelpunkt berührt, führt der Umkreis konzentrisch zu ihm durch alle Ecken der Fläche.

Die Seiten nichtkonvexer regelmäßiger Polygone wie in e) und f) kreuzen sich. Die Kreuzungspunkte der Seiten des nichtkonvexen regelmäßigen n-Ecks bilden wiederum ein konvexes regelmäßiges n-Eck, ebenso wie die kürzeste Verbindung der Eckpunkte.
Diese Polygone heißen auch reguläre Sternpolygone, ihr einfachster Vertreter ist das Pentagramm c).

Der Innenwinkel regelmäßiger Polygone beträgt:
a = (n-2)*180°/n (konvex) bzw.
b = (n-4)*180°/n (nichtkonvex)

Von allen regelmäßigen Vielecken gibt es nur drei Typen, mit denen sich eine Ebene lückenlos parkettieren lässt. Parkettieren bedeutet eine Fläche wird ohne Überlappungen vollständig bedeckt. Diese drei sind Dreieck, Quadrat und Sechseck.

Regelmäßige Körper

Wir wissen jetzt, dass sich Körper, die aus regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind, regelmäßige Körper nennen. Um besagte Regelmäßigkeit von Körpern (auch den halbregulären) zu beweisen, können wir dafür eine ganz einfache Formel verwenden. Diese Formel nennt man den Euler’schen Polyedersatz:
E + F – K = 2
Man braucht also immer nur von der Summe der Anzahl der Ecken und Flächen die Anzahl der Kanten abzuziehen und wenn es sich um einen regelmäßigen Körper handelt, ist der Ergebnis immer 2! Übrigens, wenn man von den Ecken und Flächen die Kantenanzahl ableiten möchte (das geht nämlich), macht man das mit der Formel E + F / 2 = K!

Eine weitere Beweismöglichkeit geht auf Euklid zurück. Bei ihr geht es darum, zu zeigen, warum es nur diese fünf regelmäßige (und hier lassen wir die halbregulären außen vor!) Körper gibt. Und das sehen wir hier:

Die einfachste Begrenzungsfläche ist das gleichseitige Dreieck. Eine räumliche Ecke entsteht aus mindestens 3 Flächen:

3 • 60° = 180° (Tetraeder-Ecke)
4 • 60° = 240° (Oktaeder-Ecke)
5 • 60° = 300° (Ikosaeder-Ecke)
6 Flächen bilden einen Vollwinkel - bei 6 oder mehr Flächen entsteht keine räumliche Ecke.

Allgemein gilt: Die Summe der Winkel zwischen den Kanten einer konvexen Ecke ist kleiner 360°.

Begrenzungsfläche: Quadrat
3 • 90° = 270° < 360° (Würfel-Ecke)
4 • 90° = 360°

Begrenzungsfläche: Pentagon
3 • 108° = 324° < 360° (Dodekaeder-Ecke)
4 • 108° = 360°

Begrenzungsfläche: regelmäßige 6-Ecke: 3 • 120° = 360°

Ergebnis: Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder.

Winkel in einem gleichseitigen:
Dreieck = 60°
Viereck (Quadrat) = 90°
Fünfeck = 108°

Jeder Platonische Körper besitzt eine Innenkugel, auf der die Mittelpunkte sämtlicher Flächen des Körpers liegen, und eine Außenkugel, auf der sämtliche Körperecken liegen.