Die Archimedischen Körper

Archimedische Körper sind so genannte halbreguläre Körper. Auch sie haben regelmäßige Polygone als Begrenzungsflächen, lassen aber Flächen mit unterschiedlicher Eckenanzahl zu. Das allein macht aber noch keinen Archimedischen Körper, denn von dieser Art gibt es unendlich viele und dementsprechend wäre das ja auch nichts besonders. Nein, die Kantenlängen müssen auch noch alle gleich lang sein. Und außerdem muss jede Ecke des Polyeders durch eine seiner Symmetrieoperationen auf jede andere Ecke abgebildet werden können. Das klingt ganz schön kompliziert, heißt aber nichts anderes, als dass ich einen Archimedischen Körper von einer Ecke auf eine andere drehen kann und er hinterher genau so aussieht wie vorher. Das nennt man die Uniformität der Ecken. Faszinierend! Und wenn man all diese Bedingungen gemeinsam anwendet, bleiben von einem ganzen Haufen Prismen und Antiprismen nur die 13 Archimedischen Körper übrig. Zu allem Überfluss können diese nun auch noch auf recht unterschiedliche Weise entstehen. Die meisten haben allerdings irgendwas mit wegschneiden und abschnippeln oder fachmännisch: abstumpfen, zu tun.

Unsere erste Gruppe z.B. Man erkennt sie natürlich sofort, das sind quasi die ehemaligen Platonischen Körper. Wenn wir von denen nämlich die Ecken wegschneiden, dann haben wir schon fünf von dreizehn Körpern im Sack.

Abgestumpftes Tetraeder

Das abgestumpfte Tetraeder hat insgesamt nur 8 Grundflächen und ist damit der Archimedische Körper mit den wenigsten Grundflächen. Die 8 Flächen teilen sich in jeweils 4 Dreiecke und 4 Sechsecke auf. Das abgestumpfte Tetraeder hat 12 Ecken und 18 Kanten.

Abgestumpftes Hexaeder

Ein abgestumpftes Hexaeder besitzt insgesamt 14 Grundflächen. Sie bestehen aus 8 Dreiecken und 6 Achtecken. Und dann sind da noch die 24 Ecken und 36 Kanten.

Abgestumpftes Oktaeder

Die ebenfalls 14 Flächen des abgestumpften Oktaeders sind 8 Sechsecke und 6 Quadrate. Ebenso wie der Hexaederstumpf hat es 24 Ecken und 36 Kanten.

Die zweite Gruppe, wie ich sie mal hier nenne, ist in ihrer Entstehung auch noch leicht vorstellbar. Wir nehmen die jeweils dualen platonischen Körper (also Würfel und Oktaeder, sowie Dodekaeder und Ikosaeder), stecken sie ineinander und schneiden alles ab, was übersteht. Diese Verschmelzungen nennen sich bezeichnender Weise Kuboktaeder und Ikosidodekaeder. Auch da kommt man noch ganz gut mit…

Kuboktaeder

Aus Verschmelzung von Würfel und Oktaeder erhalten wir den Kuboktaeder (auch Vektorequilibrium genannt). Es besteht aus 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also insgesamt 14 Grundflächen. Er hat 12 Ecken und 24 Kanten.

Abgest.Kuboktaeder oder Großes Rhombenkuboktaeder

Dieser Archimedische Körper setzt sich als erster aus drei verschiedenen Grundflächen - insgesamt 26 - zusammen. Als da wären 12 Quadrate, acht Sechsecke und sechs Achtecke. Hier gibt es 48 Ecken und 72 Kanten.

Abges. Ikosidodekaeder oder gr. Rhombenikosidodekaeder

Das Große Rhombenikosidodekaeder besitzt 62 Flächen, die sich aus verschiedenen zusammen setzen, nämlich 30 Quadrate, 20 Sechsecke und 12 Zehnecke. Außerdem hat es 120 Ecken und 180 Kanten. Ganz schön viele...

Die nächsten beiden sind schon ein bisschen schwieriger zu erklären.

Kleines Rhombenkuboktaeder

Das kleine Rhombenkuboktaeder besteht wieder nur aus zwei verschiedenen und insgesamt 26 Grundformen und setzt sich aus 8 gleichseitigen Dreiecken und 18 Quadraten zusammen. Es hat 24 Ecken und 48 Kanten.

Kleines Rhombenikosidodekaeder

Seine Oberfläche setzt sich aus drei verschiedenen regelmäßigen Vielecken zusammen. Seine insgesamt 62 Grundflächen bestehen aus 20 Dreiecken, 30 Quadraten und 12 Fünfecken. Begrenzt wird das ganze von 60 Ecken und 120 Kanten.

Bei unseren letzten beiden Experten spielt das Abschneiden endlich mal keine Rolle. Hier wird mal nichts weggenommen, sondern einfach was dazu getan. Dreiecke nämlich. Wie ein Cubus Simus entsteht, stellt man sich am besten so vor: Wir “sprengen“ einen Würfel so, dass alle Quadratecken von einander getrennt sind. Die Flächen werden nun mittels Dreiecken miteinander verbunden, dass sich an jeder Ecke vier Dreiecke und ein Quadrat treffen (3334). Es sind also 32 Dreiecke und sechs Quadrate. Bei 60 Kanten und 24 Ecken bedeutet das, dass die Eulersche Charakteristik (24+38-60=2) erfüllt ist.

Abgeschrägtes Hexaeder oder Cubus simus

Ein abgeschrägtes Hexaeder besteht aus zwei verschiedenen Arten und insgesamt 38 Grundflächen. Als da wären 32 Dreiecke und 6 Quadrate. An einer Ecke treffen sich immer vier Dreiecke und ein Quadrat. Mit 24 Ecken und 60 Kanten ist er anzahlmäßig hier eher gutes Mittelmaß.

Abgeschrägtes Dodekaeder oder Dodekaedron simum

Das abgeschrägte Dodekaeder wiederrum setzt seine 92 Grundflächen, aus 80 Dreiecken und 12 Fünfecken zusammen. Und natürlich auch aus 60 Ecken und 150 Kanten.

Beim abgeschrägten Hexaeder und beim abgeschrägten Dodekaeder handelt es sich um sodenannte chirale Körper. Das heißt sie kommen in zwei spiegelbildlichen Varianten vor, die sich nicht durch Drehungen zur Deckung bringen lassen. Johannes Kepler hat sie in seinem Buch "Harmonice Mundi“, das 1619 in Linz erschienen ist, genauer untersucht und insbesondere die Vollständigkeit der obigen Aufzählung bewiesen. Er nannte sie "Cubus simus" bzw. "Dodecahedron simum". Simus heißt hier wörtlich: plattnasig.
Weil manche auch die beiden Spiegelbilder aus der abgeschrägten Fraktion als eigenständigen Körper sehen, hört/liest man manchmal auch von 15 archimedischen Körpern. Also, nicht durcheinander bringen lassen... ;-)