Die Catalanischen Körper

Catalanische Körper verhalten sich polar oder dual zu den Archimedischen Körpern. Ihren Namen haben sie von dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan, sie werden aber auch oft Dual-Archimedische Körper genannt.
Im Unterschied zu den “richtigen“ Archimedischen Körpern bestehen die Catalanischen nur aus einer Flächenart, nämlich identischen Rauten bzw. Rhomben. Dafür lassen sie aber (wiederum ein Unterschied zu den Archimedischen) pro Ecke eine verschiedene Anzahl von Kanten zu. Das Rhombendodekaeder hat z.B. Ecken an denen drei Rhomben (bzw. Kanten) und Ecken, an denen vier Rhomben (bzw. Kanten) aufeinander treffen. Damit ist es kein archimedischer Körper mehr.
Catalanische Körper entstehen (kompliziert gesagt) durch die Umhüllung des Kerns eines Archimedischen Körpers. Ich habe eine Weile gebraucht, bis ich wusste, wie ich mir das vorstellen muss. Ich bin anfangs sogar beim Selbstkonstruieren durch Fehlinterpretationen von komplizierten Beschreibungen in die Irre gelaufen. Deshalb will ich mal versuchen, es an einem Beispiel so einfach wie nur möglich zu erklären.
Wir rufen uns erst mal ins Gedächtnis, wie das generell mit den Dualen Körpern war. Zu jeder konstruierten Fläche gehört also eine Ecke. Okay. Und dann erinnern wir uns weiter, dass auf diese Weise im Innern eines Würfels ein Oktaeder entstanden ist. Okay, wenn wir dieses Spiel jetzt mit dem abgestumpften Hexaeder (also quasi dem archimedischen Würfel) spielen, sieht die Sache immer noch ganz ähnlich aus.

Allerdings müssen wir jetzt noch bedenken, dass unser Hexaederstumpf ja ein “paar Flächen mehr“ hat, als sein Platonischer Bruder. Also braucht sein Dualer Partner auch ein “paar Ecken mehr“. Dazu stellen wir uns vor, wir ziehen die Flächen des Oktaeders solange von ihrem Mittelpunkt an nach außen, bis dieser auf den Mittelpunkt der Dreiecksfläche des Hexaederstumpfs trifft.

Und das war schon die ganze Kunst!

Triakis Tetrahedron

Das Triakis Tetraeder verhält sich dual zum abgestumpften Tetraeder, hat insgesamt 12 Grundflächen bestehend aus 4 x 3 Dreiecken, 8 Ecken und 18 Kanten.

Triakis Oktahedron

Das Triakis Oktaeder verhält sich dual zum abgestumpften Hexaeder. Es besitzt insgesamt 24 Grundflächen (8 x 3 Dreiecke), 14 Ecken und 36 Kanten.

Triakis Ikosahedron
Das Triakis Icosaeder verhält sich dual zum abgestumpften Dodekaeder. Seine 60 Grundflächen teilen sich in 30 x 3 Dreiecke auf. Es besitzt 32 Ecken und 90 Kanten.

Pentakis Dodekahedron
Das Pentakis Dodecaeder verhält sich dual zum Ikosaederstumpf. Es besitzt 60 Flächen (bestehend aus 12 Fünfecken), 32Ecken und 90 Kanten. Der AIDS-Virus hat die Form eines Pentakis Dodekaeders.

Rhombendodekahedron

Hier haben wir unseren ersten Catalanischen Körper, der sich aus Rhomben zusammen setzt. Das Rhombendodekaeder verhält sich dual zum Kuboktaeder. Es besteht aus 12 Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. Er ist der Hüllkörper der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Hexaeders (Kubus) und Oktaeders beschrieben wird. An sechs der Ecken grenzen vier Kanten und an die übrigen acht Ecken grenzen drei Kanten.

Rhombentriakontahedron

Das Rhombentriacontaeder verhält sich dual zum Ikosidodekaeder. Es besitzt 30 Flächen, 32 Ecken und 60 Kanten. Er ist der Hüllkörper der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Dodekaeders und Ikosaeders beschrieben wird. An 12 der Ecken grenzen 5 Kanten und an die übrigen 20 Ecken grenzen 3 Kanten an.

Disdyakis Dodekahedron, Hexakis Oktahedron

Das Diydyakis Dodecaeder verhält sich dual zum Abgestumpften Kuboktaeder. Es besitzt 48 Flächen, 26 Ecken und 72 Kanten. Seine Flächen bestehen aus 8 x 6 Dreiecken.

Disdyakis Triacontahedron, Hexakis Ikosahedron

Das Disdyakis Triacontaeder verhält sich dual zum abgestumpften Ikosaeder (Fußball). Es besitzt insgesamt 120 Grundflächen, 62 Ecken und 180 Kanten. Er ist damit in unseren Reihen der Körper mit den meisten Grundflächen, die aus 12 x 10 Dreiecken bestehen.

Trapezoid, Deltoid Ikositetrahedron

Das Deltoid-Icositetraeder verhält sich dual zum Kleinen Rhombenkuboktaeder. Es besitzt 24 Flächen aus Rhomben, 26 Ecken und 48 Kanten.

Trapezoid, Deltoid Hexacontahedron

Das Deltoid-Hexacontaeder verhält sich dual zum Abgestumpften Ikosidodekaeder. Seine 60 Flächen sind Rhomben. Dazu kommen 62 Ecken und 120 Kanten.

Pentagonal Ikositetraeder

Das Pentagonal-Icositetraeder verhält sich dual zum Cubus Simus. Wie der Name schon verrät, besteht er aus 24 Flächen. Und dann hat er 38 Ecken, woraus sich 60 Kanten ergeben.

Pentagonal Hexacontaeder

Das Pentagonal-Hexacontaeder verhält sich dual zum Dodekahedron Simum. Es besitzt 60 fünfeckige Flächen, 92 Ecken und 150 Kanten.